>>> وقتی یک قضیه ریاضی از دل یک کارتون در می آید <<<

.

Futurama یک سریال انیمیشنی علمی-تخیلی است که مخاطب آن عمدتا بزرگسالان هستند... گروه نویسندگان آن هم، شامل هفت فوق لیسانس و 3 دکتری از دانشگاه هاروارد است...

.

.

سازنده این سریال، مت گرینینگ، خالق انیمیشن سیمپسون هاست... سبک نقاشی ها و کارگردانی این سریال نیز بسیار شبیه همان سیمپسون ها می باشد...

یکی از نویسندگان این انیمیشن، کن کیلر، علاوه بر دکتری ریاضی کاربردی از هاروارد، دارای مدرک کارشناسی ارشد مهندسی برق از دانشگاه استنفورد نیز می باشد...

.

.

کیلر در یکی از قسمت های این سریال به نام زندانی بندا یک قضیه ریاضی را مطرح می کند و اثبات آن را نیز در صحنه ای روی تخته نشان می دهد...

البته اصلا قضیه سختی نیست و در ریاضیات کار شاقی محسوب نمی شود، ولی جنبه هنریش، آن را برجسته می کند... بعضا این قضیه را با نام Futurama Theorem می خوانند...

.

.

در زندانی بندا، دو تا از شخصیت های اصلی، به نام های پروفسور و امی، دستگاهی برای جابجا کردن ذهن اختراع کرده اند. پروفسور و امی با این دستگاه ذهنشان را با همدیگر جابجا می کنند. اما بعد از مدتی که می خواهند به جسم قبلی خود بازگردد با یک پیغام خطا مواجه می شوند که می گوید:

اگر دو نفر قبلا توسط این دستگاه، ذهنشان را جابجا کرده باشند، دیگر نمی توانند با هم در این دستگاه قرار بگیرند.

.

.

اینجاست که پروفسور برای برگشتن به حالت قبلی از یک ایده رایج استفاده می کند. استفاده از یک شخص ثالث به عنوان Temp...

ابتدا امی با شخص ثالث، بندر، وارد دستگاه می شوند و سپس بندر با پروفسور...

اما اشکال اینجاست:

با این کار، ذهن پروفسور به بدنش باز می گردد اما ذهن بندر و امی همچنان اشتباهی است...

برای بیان بهتر از حروف انگلیسی استفاده می کنم...

فرض کنید حروف بزرگ نشانگر بدن افراد باشد و حروف کوچک نشانگر ذهن آنها... مثلا وقتی می نویسم Bd منظور این است که ذهن فرد D در بدن B است...

همچنین اگر دو نفر یک بار از دستگاه استفاده کرده باشند، بین آنها یک خط نارنجی می گذاریم که بدانیم این دو نفر دیگر نمی توانند باهم وارد دستگاه شوند.

پس فرض کنید دو شخص A و B در اختیارند و ذهن هر یک در بدن خودش است. یعنی داریم: Aa و Bb

این دو نفر وارد دستگاه می شوند و ذهنشان با هم جابجا می شود... پس حاصل Ab و Ba خواهد بود...

ایده پرفسور استفاده از شخص سومی مثل C بود که نقش واسطه این انتقال را بازی کند...

در واقع برای برگرداندن ذهن های A و B به جای اصلی شان، ابتدا ذهن A و C را با هم جابجا می کنیم...

با توجه به شکل زیر می بینید که با این کار، ذهن b که در بدن A بود به بدن C منتقل می شود...

خب در قدم بعدی باید B و C  را به داخل دستگاه فرستاد... اما با این کار فقط جای ذهن b درست می شود و جای a و c همچنان اشتباه است... از طرفی چون A و C قبلا از دستگاه استفاده کرده اند دیگر نمی توانند وارد آن شوند.

پس راه چاره چیست؟

پروفسور برای درست کردن این ماجرا شروع می کند به استفاده از آدم های مختلف و کم کم ذهن و جسم کل شهر قر و قاطی می شود...

تا اینکه تصمیم می گیرند از ریاضیات استفاده کنند...

قضیه ای که کیلر ثابت کرده است می گوید:

هر تعداد آدمی که جسم و ذهنشان به هر ترتیبی قاطی شده باشد را می توانید با استفاده از 2 شخص جدید به عنوان Temp به وضعیت اولشان بازگردانید...

قبل از بیان شمایی از اثبات کلی، بگذارید مسئله را برای همین حالت دو نفره حل کنیم...

فرض کنید ذهن A و B با هم جابجا شده باشد... دو شخص جدید به نام های C و D به عنوان واسطه، به کار اضافه کنید.

ذهن A را با C و ذهن B را با D عوض کنید...

حال اگر به شکل ضربدری، ذهن A و D و بعد از آن ذهن B و C را جابجا کنیم، جای a و b درست می شود...

البته همچنان جای c و d اشتباه است... اما این دو نفر هنوز با هم وارد دستگاه نشده اند، پس با ورود C و D به دستگاه ذهن همه در جسم خودشان است...

و این کار را تمام می کند...

.

88888888888888888888888888888888888888

8888888888888888

8

حال اثبات قضیه در حالت کلی...

البته چیزی که من می نویسم تفاوتی با اثبات کیلر دارد. من برای سهولت از سه شخص جدید استفاده می کنم... اما ایده اثبات کاملا مشابه است...

فرض کنید تعدادی آدم داریم که ذهن هایشان به شکل تصادفی با هم جابجا شده است...

(یک قضیه معروفی در جبر می گوید:) می توان این افراد را به گروه هایی مجزا تقسیم کرد که در این گروه ها، ذهن شخص اول در جسم شخص دوم باشد، ذهن شخص دوم در جسم نفر سوم، ذهن سومی در بدن چهارمی و ... و نهایتا ذهن شخص آخر در بدن فرد اول باشد...

به هر یک از این گروه ها یک دور می گویند.

چون این دورها مجزاست، پس می توان مسئله را فقط برای یک دور حل کرد.

برای ساده تر بودن فرض کنید دور مذکور تنها 5 عضو دارد که با حروف A تا E نشان داده ایم. (حالت کلی مشابه است.)

همانطور که در زیر می بینید، ذهن هر کسی در جسم نفر قبلی اوست...

برای اصلاح این ذهن ها ابتدا از یک شخص جدید به اسم T بهره می گیریم.

ابتدا ذهن a و t را با هم جابجا می کنیم...

حال که ذهن b به بدن T منتقل شده است، با جابجا کردن ذهن این دو نفر می توان جای ذهن b را درست کرد... در واقع T به نوعی نقش واسطه را بازی می کند.

اما با این کار ذهن c به جسم T منتقل می شود. پس با ادامه همین روند می توان ذهن همه افراد را به جسم خودشان باز گرداند، بجز ذهن A که در ابتدا اشتباه بود و ذهن خود T

البته توجه کنید که چون A و T قبلا با هم در دستگاه قرار گرفته اند، نمی توان آن ها را با هم در دستگاه گذاشت...

اما خیلی مشکلی نیست... چون قبلا یاد گرفته ایم چگونه ذهن دو نفر را با هم جابجا کنیم. کافی است از دو Temp جدید به نام های R و S استفاده کنیم و مانند مسئله پرفسور و امی به آن نگاه کنیم...

البته مشاهده می کنید که روش بالا از 3 شخص واسطه به نام های T,R و S استفاده کرده است... اثبات خود کیلر فقط با استفاده از 2 واسطه این کار را انجام می دهد.

روش کار مشابه است؛ برای اینکار کافیست واسطه یکم را با نفرات اول تا یکی به آخر دور جابجا کنید و واسطه دوم را با نفر آخر لیست و 4 نفری که هنوز درست نشده اند را بعد از آن اصلاح کنید...

برای طولانی نشدن پست، این قسمت آورده نمی شود و به عنوان تمرین به خواننده واگذار می شود!!