می خواستم یک چند خطی در ادامه پست زیبای کرت اشتاینر بنویسم. قبلش یک قسمت از پست ایشون به نظرم اومد که یه کم زود از روش رد شدن و به نظرم جا داره یه کم بیشتر بش پرداخته بشه. اینکه سر و کله لگاریتم از کجا پیدا میشه به نوبه خود جالبه. فعلا این قسمت رو توضیح میدم تا انشاا... به زودی یه پست جامع تر در مورد فراکتال همراه چند ویدئو از آن بنویسم.

(۱۳۹۳/۸/۳ عصر ۰۷:۰۷)Kurt Steiner نوشته شده:  

 اگر بگوییم بعد خط، برابر یک و نیز بعد صفحه، برابر دو و بعد فضا با عدد سه معرفی شود، فرکتالها بر خلاف همهٔ اینها بعد صحیح ندارند و بعد فرکتالها یک عدد کسری می‌باشد . وقتی که گفته می‌شود بعد یک فرکتال ۱٫۲ می‌باشد؛ این بدین معنی است که از خط پیچیده تر و از صفحه ساده تر است . محاسبه این بعد، از طریق یک سری فرمول‌های لگاریتمی بدست می‌آید -

یک رویکرد برای تعریف بعد این است که ببینیم با 2 برابر کردن مقیاس یا اندازه تصویر، محتوای آن چند برابر میشود. البته لازم نیست حتما 2 برابر کنیم، برای همین من 3 برابر رو هم توی تصاویر آورده ام.

به عنوان مثال برای مربع (یا هر شکل دو بعدی دیگر) با دو برابر کردن اندازه، محتوای آن 4 برابر می شود که توان دوم 2. همچنین با 3 برابر کردن اندازه محتوا 9 برابر می شود که توان دوم 3 است. پس به نظر با k برابر کردن شدن، محتوای آن توان دوم k برابر می شود. این توان دوم می تواند نشان دهنده این باشد که موجود ما دو بعدی است.

اما برای سه بعد داریم:

با دوبرابر کردن اندازه محتوا 8 برابر می شود که توان سوم 2 است و با سه برابر کردن اندازه، محتوا 27 برابر می شود که باز هم توان سوم 3 است. این نشان می دهد رویکردی که برای تعریف بعد داشتیم اشتباه به نظر نمی رسد.

حال برای یک فراکتال اتفاق به گونه دیگری می افتد. برای سادگی از فراکتال معروف مثلث سرپینسکی استفاده می کنیم.

مشاهده می شود که با 2 برابر کردن اندازه، محتوا 3 برابر می شود ولی 3 توان صحیحی از 2 نیست. در واقع 2 به توان 1 از سه کمتر است و 2 به توان 2 از سه بیشتر است. مقدار تقریبی توانی از 2 که مساوی با 3 باشد 1.585 است. این عدد با نام لگاریتم 3 در مبنای 2 خوانده می شود.

با این استدلال می توان گفت که بعد این فراکتال 1.585 است. به بیان دقیق تر چیزی بین خط و صفحه به این معنی که طول آن بی نهایت است و مساحت آن صفر است.